Teorija

2. Tjedan

• Matrice i linearni sustavi

---

Uvod

Matrice su temeljni alat u linearnoj algebri, koriste se za predstavljanje i rješavanje sustava linearnih jednadžbi, te imaju široku primjenu u matematici, fizici, računarstvu i drugim područjima. U ovoj lekciji detaljno ćemo obraditi sve aspekte matrica, od osnovnih definicija do naprednih metoda rješavanja sustava.

---

1. Definicija matrice

Matrica je pravokutna tablica brojeva organizirana u retke i stupce. Općenito, matrica ima $m$ redaka i $n$ stupaca, što se označava kao $m \times n$ matrica. Elementi matrice označavaju se s $a_{ij}$, gdje $i$ označava re dak, a $j$ stupac.

Primjer:

Matrica $A$ dimenzije $2 \times 3$:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

Vrste matrica

1. Kvadratna matrica: Broj redaka jednak je broju stupaca ($m = n$).
   Primjer:
   $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

2. Dijagonalna matrica: Kvadratna matrica gdje su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli.
   Primjer:
   $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

3. Jedinična matrica: Dijagonalna matrica gdje su svi dijagonalni elementi jednaki 1. Označava se s $I$.
   Primjer:
   $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. Nulta matrica: Matrica gdje su svi elementi jednaki 0.
   Primjer:
   $0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

5. Transponirana matrica: Matrica dobivena zamjenom redaka i stupaca. Transponirana matrica od $A$ označava se s $A^T$.
   Primjer:
   $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

---

2. Posebni tipovi matrica

Simetrične i antisimetrične matrice

1. Simetrična matrica: Matrica koja je jednaka svojoj transponiranoj matrici, tj. $A = A^T$.
   Primjer:
   $D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

2. Antisimetrična matrica: Matrica za koju vrijedi $A = -A^T$.
   Primjer:
   $E = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\\\ -2 & 0 \end{bmatrix}$

Gornje i donje trokutaste matrice

1. Gornje trokutasta matrica: Matrica gdje su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli.
   Primjer:
   $F = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

2. Donje trokutasta matrica: Matrica gdje su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli.
   Primjer:
   $G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

---

3. Osnovne operacije s matricama

Zbrajanje i oduzimanje matrica

Zbrajanje i oduzimanje matrica moguće je samo ako matrice imaju istu dimenziju. Rezultat je matrica istih dimenzija, gdje se svaki element računa kao:
$(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$

Primjer:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\\\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\\\ 10 & 12 \end{bmatrix}$

Množenje matrice skalarom

Množenje matrice skalarom $c$ množi svaki element matrice s $c$:
$(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$

Primjer:

$c = 2, \quad A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad cA = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\\\ 6 & 8 \end{bmatrix}$

Množenje matrica

Množenje matrica $A$ i $B$ moguće je samo ako broj stupaca matrice $A$ jednak je broju redaka matrice $B$. Rezultat je matrica dimenzije $m \times p$, gdje se elementi računaju kao:
$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$

Primjer:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\\\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\\\ 43 & 50 \end{bmatrix}$

Transponiranje matrice

Transponirana matrica $A^T$ dobiva se zamjenom redaka i stupaca:
$(A^T)_{ij} = a_{ji}$

Primjer:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

Inverzna matrica

Inverzna matrica $A^{-1}$ matrice $A$ je matrica za koju vrijedi:
$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
Inverzna matrica postoji samo ako je $A$ kvadratna i regularna (njezina determinanta nije nula).

Primjer:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\\\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

---

4. Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi

Sustav linearnih jednadžbi može se zapisati u matričnom obliku:
$A \cdot x = b$
gdje je:

• $A$ matrica koeficijenata,
• $x$ vektor nepoznanica,
• $b$ vektor rezultata.

Primjer:

Sustav jednadžbi:
$\begin{cases} x + 2y = 5 \\\\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$
Matrični zapis:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\\\ 6 \end{bmatrix}$

---

5. Gaussova eliminacija

Gaussova eliminacija je metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Postupak se sastoji od sljedećih koraka:

1. Eliminacija: Pretvaranje matrice u gornje trokutasti oblik.
2. Povratno substituiranje: Rješavanje sustava od posljednjeg retka prema prvom.

Primjer:

Sustav:
$\begin{cases} x + 2y = 5 \\\\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$
Koraci Gaussove eliminacije:

1. Reduciramo matricu na gornje trokutasti oblik:
   $\begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 5 \\\\ 0 & -2 & | & -9 \end{bmatrix}$
2. Rješavamo sustav:
   $y = 4.5, \quad x = -4$

---

6. Linearna nezavisnost i rang matrice

Linearna nezavisnost

Skup vektora je linearno nezavisan ako niti jedan vektor nije linearna kombinacija ostalih. To znači da je jedino rješenje jednadžbe:
$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n = 0$
kada su svi koeficijenti $c_i$ jednaki nuli.

Primjer:

Vektori $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \end{bmatrix}$ i $v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}$ su linearno nezavisni.

Rang matrice

Rang matrice je maksimalni broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca. Može se odrediti redukcijom matrice na stepenasti oblik.

Primjer:

Matrica:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
Rang matrice $A$ je 2.

---

7. Kronecker-Capellijev teorem

Kronecker-Capellijev teorem daje uvjet za postojanje rješenja sustava linearnih jednadžbi $A \cdot x = b$:

• Sustav je rješiv ako je rang matrice koeficijenata $A$ jednak rangu proširene matrice $[A|b]$.
• Ako je $\text{rg}(A) = \text{rg}([A|b]) = n$, sustav ima jedinstveno rješenje.
• Ako je $\text{rg}(A) = \text{rg}([A|b]) < n$, sustav ima beskonačno mnogo rješenja.
• Ako je $\text{rg}(A) \neq \text{rg}([A|b])$, sustav nema rješenja.

Primjer:

Sustav:
$\begin{cases} x + 2y = 5 \\\\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$
Matrica $A$ i proširena matrica $[A|b]$ imaju isti rang (2), pa sustav ima jedinstveno rješenje.

Vježbe

zadaci

Ispit

Što je transponirana matrica matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$?

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

Koja je inverzna matrica matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$?

$\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -0.5 & 1.5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -1.5 & 0.5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Koja je dimenzija matrice dobivene množenjem matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ s matricom $B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\\\ 9 & 10 \\\\ 11 & 12 \end{bmatrix}$?

$2 \times 2$

$3 \times 3$

$2 \times 3$

$3 \times 2$

Koja je rang matrice $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$?

0

1

2

3

Koja je linearna kombinacija vektora $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \end{bmatrix}$ i $v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \end{bmatrix}$ koja daje vektor $\begin{bmatrix} 3 \\\\ 4 \end{bmatrix}$?

$3v_1 + 0v_2$

$0v_1 + 4v_2$

$2v_1 + 2v_2$

$3v_1 + 4v_2$

Koja je gornje trokutasta matrica?

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

Koja je simetrična matrica?

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

Koja je inverzna matrica jedinične matrice $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$?

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

Koja je matrica koeficijenata za sustav jednadžbi $\begin{cases} x + 2y = 5 \\\\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$?

$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Koja je proširena matrica za sustav jednadžbi $\begin{cases} x + 2y = 5 \\\\ 3x + 4y = 6 \end{cases}$?

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$